Fonksiyonlar ve İşlemler

[_SoN_]

1.1.A = í 1,2,3,4 ý

f : A ® R

x Þ y = f(x) = 3 – x fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonunu elemanları ile yazınız.


ÇÖZÜM :

f(x) = 3 – x
f(1) = 3 – 1 = 2
f(2) = 3 – 2 = 1
f(3) = 3 – 3 = 0
f(4) = 3 – 4 = -1

f = í (1,2), (2,1), (3,0), (4,-1) ý olur.

2.2.A = í - 3, -1, 0, 2, 3 ý

f : A ® R fonksiyonu

f = í (-3, 5), (-1, 2), (0, 3), (2, 5), (3 ,- 4) ý olarak veriliyor.

f(- 3) + f(0) + f(3) toplamı nedir?


ÇÖZÜM :

f(-3) = 5
f(0) = 3
f(3) = - 4 olduğundan

f(-3) + f(0) + f(3) = 5 + 3 – 4 = 4 olur.

3.3.f : R ® R , f(x) = 2x+3 fonksiyonu veriliyor.

f(x+1) / f(x) ifadesinin eşiti nedir?


ÇÖZÜM :

f(x) = 2x+3
f(x+1) = 2x+1+3 = 2x+4

f(x+1) / f(x) = 2x+4 / 2x+3 = 2x+4-x-3 = 2 bulunur.


4.4.A ve B iki küme olsun. s(A) = 2 , s(B) = 3 ise A’dan B’ye fonksiyon olmayan kaç tane bağıntı vardır?


ÇÖZÜM :

A’dan B’ye 32 = 9 tane fonksiyon vardır.
s(AxB) = 2.3 = 6
A’dan B’ye 26 = 64 tane bağıntı vardır.
64 – 9 = 55 tane fonksiyon olmayan bağıntı vardır.

5.5.A = í a, b, c ý
f : A ® A fonksiyonu

f : í (a, b), (b, b), (c, c) ý olarak veriliyor. f –1 bağıntısını elemanları ile yazınız.


ÇÖZÜM :


f –1 = í (b, a ), (b, b), (c, c) ý olur.

6.6.f : R ® R , f(x) = x3 – 4x + 2 olduğuna göre f –1 (2) nedir?


ÇÖZÜM :


f –1 (2) = x diyelim ve her iki tarafın f ini alalım Þ f(f –1 (2)) = f(x ) ( bir fonksiyon ile tersinin bileşimi x i verir)
2 = f(x) bulunur.

Þ f(x) = x3 – 4x + 2 = 2
Þ x3 – 4x = 0
Þ x(x2 – 4) = 0
Þ x = 0, x = 2, x = -2

f –1 (2) = í -2, 0, 2 ý bulunur.

7.7.f : R - í -1 ý® R , f(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre f -1 (6) nedir?

ÇÖZÜM :


f-1 (6) = x Þ f(x) = 6
Þ x2 – 3x +2 = 6
Þ (x – 4) (x + 1) = 0
Þ x = 4 , x = -1

x = -1 tanım kümesi elemanı olmadığı için f -1 (6) = 4 olur.

8.8.f : R ® R , f(x) = 32x+1 + 1 olduğuna göre f -1(28) nedir?


ÇÖZÜM :
F -1(28) = x Þ f(x) = 28

Þ 32x+1 + 1 = 28
Þ 32x+1 = 27 = 33
Þ 2x + 1 = 3
Þ x = 1 bulunur.

9.9.A = í 1, 2, 3, 4 ý kümesi veriliyor. A’dan A’ya f = í (1,2), (a, 3), (3, 4), (4, b) ý fonksiyonunun tersinin de bir fonksiyon olması için a + b toplamı kaç olmalıdır?


ÇÖZÜM :


f = í (1,2), (a, 3), (3, 4), (4, b) ý fonksiyon olması için a = 2 ve bire – bir örten olması için b = 1 olmalıdır.
Buna göre a + b = 2 + 1 = 3 bulunur.


10.10.f(x) = ax + 3 , g(x) = 5x + b ve (gof) (x) birim fonksiyon ise ab çarpımı nedir?


ÇÖZÜM :


(gof) (x) = g(ax + 3)
= 5(ax + 3) + b
= 5ax + 15 + b

Þ 5ax + 15 + b = x
Þ 5a = 1 ve 15 + b = 0
Þ a = 1 / 5 ve b = - 15

a.b = 1 / 5 . (- 15) = - 3 bulunur.

11.11.f(2x + 3) = 3x + 2 olduğuna göre f(0) kaçtır?


ÇÖZÜM : f(0) ı bulmak için f(2x + 3) ifadesinde parantez içini sıfır yapmalıyız.


2x + 3 = 0 Þ x = - 3 / 2 yazarsak f(2x + 3 ) ifadesinde parantez içi sıfır olur.

f (0) = 3. (-3 / 2) + 2
f(0) = (-9 / 2) + 2
f(0) = - 5 / 2


12.12.f(x) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere f(5) = 3 ve f(3) = 5 olduğuna göre f(1) değeri kaçtır?


ÇÖZÜM : Doğrusal bir fonksiyon f(x) = ax + b şeklindedir.


x = 5 için f(5) = 5a + b Þ 3 = 5a + b
x = 3 için f(3) = 3a + b Þ 5 = 3a + b

2a = -2
a = -1
5(-1) + b = 3 Þ b =8

f(x) = -x + 8
f(1) = -1 + 8 = 7


13.13.f(x) = x2 + 4x + 5 olduğuna göre f(x – 2) nedir?


ÇÖZÜM :


f(x) = x2 + 4x + 5 = (x+2)2 + 1
f(x – 2) = (x –2 + 2)2 + 1 Þ f(x – 2) = x2 + 1 olur.


14.14.f : R ® R+ olmak üzere f(m.n) = f(m) . f(n) olduğuna göre f(1) değeri kaçtır?


ÇÖZÜM :


f(m.n) = f(m) . f(n) ifadesinde n =1 alınırsa,
f(m.1) = f(m) . f(1) Þ f(m) = f(m) . f(1)
f(1) = 1 olur.

15.15.f(x + 2) + f(x –1) = 3x + 1olduğuna göre f(3) – f(- 3) değeri kaçtır?


ÇÖZÜM :

f(x + 2) + f(x –1) = 3x + 1
x = 1 Þ f(3) + f(0) = 4
x = -2 Þ f(0) + f(-3) = -5 Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsakÞ f(3) + f(-3) = 4 – (-5) = 9 olur.


16.16.f : R ® R olmak üzere f(x + 1) = x. f(x) ve f(2) = 5 olduğuna göre f(4) kaçtır?


ÇÖZÜM :


f(x + 1) = x . f(x) ve f(2) = 5 veriliyor.
x = 2 için f(3) = 2 . f(2) Þ = 2 . 5 = 10
x = 3 için f(4) = 3. f(3) = 3 . 10 = 30 olur.


17.17.R de f(x) = x – 2 , g(x) = x2 + 1 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x – 2 + x2 + 1
= x2 + x - 1

18.18.R de f(x) = x – 2 , g(x) = x2 + 1 fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f . g) (x) = f(x) . g(x)
= (x – 2) (x2 + 1)
= x3 – 2x2 + x – 2


19.19.R de f(x) = x – 2 , fonksiyonu veriliyor. f3 (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


f3 (x) = (x-2)3

20.20.R de g(x) = x2 + 1 fonksiyonu veriliyor. (- g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(-g) (x) = - x2 – 1







21.21.R de f(x) = 2x2 + x + 2 ve g(x) = 3 – x fonksiyonları veriliyor. (2f + g) (x) fonksiyonu nedir?


ÇÖZÜM :


(2f + g) (x) = 2 f(x) + g(x)
= 2 (2 x2 + x + 2) + (3 – x)
= 4 x2 + 2x + 4 + 3 – x
= 4 x2 + x +7

22.22.3 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı biçimde sonuçlanabilir?


ÇÖZÜM :

Sınava katılan kişiler A kümesini ( 3 kişi) ve sınav sonuçları da ( başarılı – başarısız) B kümesini oluştursun. A dan B ye 23 = 8 tane fonksiyon tanımlandığına göre sınav 8 farklı biçimde sonuçlanabilir.


23.23.f(3x+2 + 2x) = x – 3 ise f -1 (x) nedir?


ÇÖZÜM :


f(3x+2 + 2x) = x – 3 Þ f -1 (x – 3) = 3x+2 + 2x
Þ f -1 (x) = 3x+3+2 + 2 (x + 3)
Þ f -1 (x) = 3x+5 + 2x + 6

24.24.f : R ® R fonksiyonu bire – bir örten fonksiyondur. (fo f -1 ) (3x –2) = 10 ise x nedir?


ÇÖZÜM :


(fof -1 ) (3x – 2) = I(x) = x olduğundan
(fof -1 ) (3x – 2) = 10
Þ 3x –2 = 10
Þ x = 4 bulunur.

25.25.A ve B iki küme olsun. s(A) = 5 , s(B) = 2 ise A’dan B’ye fonksiyon olan kaç tane bağıntı vardır?


ÇÖZÜM :


52 = 25 adet fonksiyon vardır.


26.26.f(5x + 2) = x + 5 olduğuna göre f(0) kaçtır?


ÇÖZÜM :


5x + 2 = 0 Þ x = -2 / 5
f(0) = (-2 / 5) + 5
f(0) = - 23 / 25


27.27.f : R+ ® R
f(x) = f(x + 1) / x , f(4) = 12 olduğuna göre f(2) kaçtır?



ÇÖZÜM :


x = 3 için f(3) = f(4) / 3 = 12 / 3 = 4
x = 2 için f(2) = f(3) / 2 = 4 / 2 = 2 olur.


28.28.R de f(x) = 3x + 12 ve g(x) = x + 2 fonksiyonları veriliyor. (3f + g) (x) fonksiyonu nedir?


ÇÖZÜM :


(3f + g) (x) = 3 f(x) + g(x)
= 3 (3x + 12) + (x + 2 )
= 9x + 36 + x + 2
= 10x + 38


29.29.f(x) + f(x + 1) = 2x +3 olduğuna göre f(2) – f(0) kaçtır?


ÇÖZÜM :


x = 1 için f(1) + f(1 + 1) = 2 . 1 + 3
f(1) + f(2) = 5

x = 0 için f(0) + f(0 + 1) = 2 . 0 + 3
f(0) + f(1) = 3

f(1) + f(2) – f(0) – f(1) = 5 – 3
f(2) – f(0) = 5 – 3 = 2


30.30.f(a . b) = f(a) + f(b) ve f(2) = - 5 olduğuna göre f(16) nedir?


ÇÖZÜM :


f(a . b) = f(a) + f(b) olduğu için,
f(16) = f(2 . 2 . 2 . 2) = f(2) + f(2) + f(2) + f(2) = 4 . f(2) = 4.(-5) = -20 olur.


31.31.f: R ® R
f(x + 2) = f(x) + x ve f(2) = 1 olduğuna göre f(102) değeri kaçtır?


ÇÖZÜM :


f(x + 2) = f(x) + x Þ f(x + 2) – f(x) = x
x = 2 için f(4) – f(2) = 2
x = 4 için f(6) – f(4) = 4

x = 98 için f(100) – f(98) = 98
x = 100 için f(102) – f(100) = 100

f(102) – f(2) = 50 . 51
f(102) – 1 = 2550
f(102) = 2551 olur.







32.32.f(x) doğrusal fonksiyonu için f-1 (5) = 4 ve f-1 (7) = 3 olduğuna göre f(x) nedir?


ÇÖZÜM :


f(x) = ax + b olsun.
f-1 (5) = 4 Þ f(4) = 5
f-1 (7) = 3 Þ f(3) = 7 dir.
x = 4 için f(4) = 4a + b Þ 5 = 4a + b
x = 3 için f(3) = 3a + b Þ 7 = 3a + b

--2 = a
a = - 2 için 4(-2) + b = 5 Þ b = 13
a = - 2 ve b = 13 Þ f(x) = -2x + 13 olur.


33.33.R de f(x) = 3x – 5 , g(x) = 2x – 3 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f + g) (x) = (3x – 5) + (2x – 3)
(f + g) (x) = 5x – 8



34.34.R de f(x) = 4x – 3 , g(x) = x2 + 2 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f + g) (x) = (4x – 3) + (x2 + 2)
(f + g) (x) = x2 + 4x – 1


35.35.R de f(x) = x – 2 , g(x) = x2 + 3 fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f + g) (x) = f(x) . g(x)
(f + g) (x) = (x – 2) (x2 + 3)
(f + g) (x) = x3 – 2 x2 + 3x – 6

36.36.R de f(x) = 2x + 2 , g(x) = x2 – 1 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f + g) (x) = (2x + 2) + (x2 – 1)
(f + g) (x) = x2 + 2x + 1


37.1.R de f(x) = 3 – x , g(x) = x2 – 3 fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f + g) (x) = f(x) . g(x)
(f + g) (x) = (3 – x) . (x2 – 3)
(f + g) (x) = - x3 + 3 x2 + 3x – 9


38.2.R de f(x) = 5 – x , g(x) = x2 – 4 fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f . g) (x) = f(x) . g(x)
(f . g) (x) = (5 – x) . (x2 – 4)
(f . g) (x) = - x3 + 5 x2 + 4x – 20


39.3.R de f(x) = 6 – x , g(x) = x2 – x fonksiyonları veriliyor. (f . g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f . g) (x) = f(x) . g(x)
(f . g) (x) = (6 – x) (x2 – x)
(f . g) (x) = - x3 + 7 x2 – 6x








40.4.R de f(x) = x + 12 , g(x) = x2 – 2x + 3 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x) i bulunuz.


ÇÖZÜM :


(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f + g) (x) = x + 12 + x2 – 2x + 3
(f + g) (x) = x2 – x + 15